বায়োসাভার্ট সূত্র (Biot-Savart Law):
একটি তড়িৎবাহী তারের কোনো ক্ষুদ্র অংশের জন্য ঐ পরিবাহী তারটির বাইরের কোনো বিন্দুতে চৌম্বক আবেশের মান -
(1) তড়িৎপ্রবাহের সমানুপাতী
(2) পরিবাহী তারটির অতি ক্ষুদ্র অংশের সমানুপাতী
(3) পরিবাহীটির ঐ ক্ষুদ্র অংশের দৈর্ঘ্যের মধ্যবিন্দু ও ওই বিন্দু এবং বাহ্যিক বিন্দুর সংযোগকারী সরলরেখার মধ্যে সৃষ্ট কোণের সাইনের (\(Sin\)) এর সমানুপাতী। (4) পরিবাহী তারটির ওই ক্ষুদ্র অংশ থেকে বাহ্যিক বিন্দুটির মধ্যকার দূরত্বের বর্গের ব্যাস্তানুপাতী হয়।
ধরাযাক, \(I\) তড়িৎপ্রবাহবাহী একটি তার \(XY\) এর একটি অতি ক্ষুদ্র দৈর্ঘ্যের \(dl\) অংশ \(AB\) নেওয়া হল। এই \(d\vec l\) ক্ষুদ্রাংশ থেকে \(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\vec r\) এবং \(d\vec l\) ও \(\vec r\) এর মধ্যকার কোণ হল \(\theta \)।
এখন বায়ো-সাভার্টের সূত্রানুযায়ী, \(P\) বিন্দুতে চৌম্বক আবেশ \(d\vec B\) হলে লেখা যায়,
(1) \(dB \propto I\)
(2) \(dB \propto dl\)
(3) \(dB \propto \sin \theta \)
(4) \(dB \propto \frac{1}{{{r^2}}}\)
যৌগিক ভেদের উপপাদ্য অনুসারে একত্রিত করে পাই,
\(dB \propto \frac{{Idl\sin \theta }}{{{r^2}}}\)
বা, \(dB = k\frac{{Idl\sin \theta }}{{{r^2}}}\)
[এখানে \(k\) একটি সমানুপাতিক ধ্রুক। এর মান এককের পদ্ধতি এবং মধ্যবর্তী মাধ্যমের উপর নির্ভর করে।]
\(CGS\) পদ্ধতি:
\(CGS\) পদ্ধতি ও শূন্যমাধ্যমে \(k = 1\) হয়, সেক্ষেত্রে বায়ো-সাভার্ট সূত্রটি হয়,
\(dB = \frac{{Idl\sin \theta }}{{{r^2}}}\)
বা, \(B = \int {dB = \int {\frac{{Idl\sin \theta }}{{{r^2}}}} } \)
\(SI\) পদ্ধতি:
\(SI\) পদ্ধতি ও শূন্য মাধ্যমে \(k = \frac{{{\mu _0}}}{{4\pi }}\) হয়, সেক্ষেত্রে বায়ো-সাভার্ট সূত্রটি হয়,
\(dB = \frac{{{\mu _0}}}{{4\pi }}\frac{{Idl\sin \theta }}{{{r^2}}}\) [যেখানে \({\mu _0}\) হল শূন্য মাধ্যমের চৌম্বকভেদ্যতা।]
বা, \(B = \int {dB = \int {\frac{{{\mu _0}}}{{4\pi }}\frac{{Idl\sin \theta }}{{{r^2}}}} } \)
বা, \(B = \int {dB = \frac{{{\mu _0}}}{{4\pi }}\int {\frac{{Idl\sin \theta }}{{{r^2}}}} } \)
[alert title="চৌম্বকভেদ্যতার মান ও একক" icon="info-circle"] \({\mu _0}\): শূন্য মাধ্যমের চৌম্বকভেদ্যতা: এর মান এবং একক:
বায়ু বা শূন্য মাধ্যমে চৌম্বক ভেদ্যতার মান হয়,
\({\mu _0} = 4\pi \times {10^{ - 7}}wb.{A^{ - 1}}.{m^{ - 1}}\)
বা, \({\mu _0} = 4\pi \times {10^{ - 7}}T.{A^{ - 1}}.m\)
এখন, \({\mu _0} = 4\pi \times {10^{ - 7}}wb.{A^{ - 1}}.{m^{ - 1}}\)
বা, \({\mu _0} = 4\pi \times {10^{ - 7}}\frac{{Henry}}{{meter}}\)
বা, \({\mu _0} = 4\pi \times {10^{ - 7}}\frac{{newton}}{{am{p^2}}}\)
বা, \({\mu _0} = 4\pi \times {10^{ - 7}}\frac{{Tesla - meter}}{{amp}}\)
বা, \({\mu _0} = 4\pi \times {10^{ - 7}}T.m.{A^{ - 1}}\)
[/alert] [success title="Note These Different Form of Biot-Savart Law" icon="check-circle"] Different Form of Biot-Savart Law:
(1) Biot-Savart Law in Vector Form:
\(d\vec B = \frac{{{\mu _0}}}{{4\pi }}\frac{{I\left( {d\vec l \times \vec r} \right)}}{{{r^3}}} = \frac{{{\mu _0}}}{{4\pi }}\frac{{I\left( {d\vec l \times \hat r} \right)}}{{{r^2}}}\)
এখানে \(d\vec B\) এর অভিমুখ \(\left( {d\vec l \times \vec r} \right)\) এর ভেক্টরগুনের অভিমুখে হয়। ভেক্টরগুনের ডান হাতের স্ক্র-নিয়ম দ্বারা এর অভিমুখ পাওয়া যায়। এখানে \(P\) বিন্দুতে চৌম্বক আবেশ \(d\vec B\) এর অভিমুখ হয় কাগজের পাতার সমতলের সঙ্গে লম্বভাবে এবং ভিতরের (inward) দিকে।
(2) Biot-Savart Law in terms of Current Density:
আমরা জানি, \(j = \frac{I}{A} = \frac{{Idl}}{{Adl}} = \frac{{Idl}}{{dv}}\)
বা, \(Id\vec l = \overrightarrow J dv\)
সুতরাং \(\overrightarrow {dB} = \frac{{{\mu _0}}}{{4\pi }}\frac{{I\overrightarrow {dl} \times \overrightarrow r }}{{{r^3}}} = \frac{{{\mu _0}}}{{4\pi }}\frac{{\overrightarrow J dv \times \overrightarrow r }}{{{r^3}}} = \frac{{{\mu _0}}}{{4\pi }}\frac{{\overrightarrow J \times \overrightarrow r }}{{{r^3}}}dv\)
(3) Biot-Savart Law in terms of Charge and its Velocity:
আমরা জানি, \(I\overrightarrow {dl} = \frac{q}{{dt}}\overrightarrow {dl} = q\frac{{\overrightarrow {dl} }}{{dt}} = q\overrightarrow v \)
সুতরাং, \(\overrightarrow {dB} = \frac{{{\mu _0}}}{{4\pi }}\frac{{I\overrightarrow {dl} \times \overrightarrow r }}{{{r^3}}} = \frac{{{\mu _0}}}{{4\pi }}\frac{{q\overrightarrow v \times \overrightarrow r }}{{{r^3}}}\)
[/success]
একটি তড়িৎবাহী তারের কোনো ক্ষুদ্র অংশের জন্য ঐ পরিবাহী তারটির বাইরের কোনো বিন্দুতে চৌম্বক আবেশের মান -
(1) তড়িৎপ্রবাহের সমানুপাতী
(2) পরিবাহী তারটির অতি ক্ষুদ্র অংশের সমানুপাতী
(3) পরিবাহীটির ঐ ক্ষুদ্র অংশের দৈর্ঘ্যের মধ্যবিন্দু ও ওই বিন্দু এবং বাহ্যিক বিন্দুর সংযোগকারী সরলরেখার মধ্যে সৃষ্ট কোণের সাইনের (\(Sin\)) এর সমানুপাতী। (4) পরিবাহী তারটির ওই ক্ষুদ্র অংশ থেকে বাহ্যিক বিন্দুটির মধ্যকার দূরত্বের বর্গের ব্যাস্তানুপাতী হয়।
ধরাযাক, \(I\) তড়িৎপ্রবাহবাহী একটি তার \(XY\) এর একটি অতি ক্ষুদ্র দৈর্ঘ্যের \(dl\) অংশ \(AB\) নেওয়া হল। এই \(d\vec l\) ক্ষুদ্রাংশ থেকে \(P\) বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর \(\vec r\) এবং \(d\vec l\) ও \(\vec r\) এর মধ্যকার কোণ হল \(\theta \)।
এখন বায়ো-সাভার্টের সূত্রানুযায়ী, \(P\) বিন্দুতে চৌম্বক আবেশ \(d\vec B\) হলে লেখা যায়,
(1) \(dB \propto I\)
(2) \(dB \propto dl\)
(3) \(dB \propto \sin \theta \)
(4) \(dB \propto \frac{1}{{{r^2}}}\)
যৌগিক ভেদের উপপাদ্য অনুসারে একত্রিত করে পাই,
\(dB \propto \frac{{Idl\sin \theta }}{{{r^2}}}\)
বা, \(dB = k\frac{{Idl\sin \theta }}{{{r^2}}}\)
[এখানে \(k\) একটি সমানুপাতিক ধ্রুক। এর মান এককের পদ্ধতি এবং মধ্যবর্তী মাধ্যমের উপর নির্ভর করে।]
\(CGS\) পদ্ধতি:
\(CGS\) পদ্ধতি ও শূন্যমাধ্যমে \(k = 1\) হয়, সেক্ষেত্রে বায়ো-সাভার্ট সূত্রটি হয়,
\(dB = \frac{{Idl\sin \theta }}{{{r^2}}}\)
বা, \(B = \int {dB = \int {\frac{{Idl\sin \theta }}{{{r^2}}}} } \)
\(SI\) পদ্ধতি:
\(SI\) পদ্ধতি ও শূন্য মাধ্যমে \(k = \frac{{{\mu _0}}}{{4\pi }}\) হয়, সেক্ষেত্রে বায়ো-সাভার্ট সূত্রটি হয়,
\(dB = \frac{{{\mu _0}}}{{4\pi }}\frac{{Idl\sin \theta }}{{{r^2}}}\) [যেখানে \({\mu _0}\) হল শূন্য মাধ্যমের চৌম্বকভেদ্যতা।]
বা, \(B = \int {dB = \int {\frac{{{\mu _0}}}{{4\pi }}\frac{{Idl\sin \theta }}{{{r^2}}}} } \)
বা, \(B = \int {dB = \frac{{{\mu _0}}}{{4\pi }}\int {\frac{{Idl\sin \theta }}{{{r^2}}}} } \)
[alert title="চৌম্বকভেদ্যতার মান ও একক" icon="info-circle"] \({\mu _0}\): শূন্য মাধ্যমের চৌম্বকভেদ্যতা: এর মান এবং একক:
বায়ু বা শূন্য মাধ্যমে চৌম্বক ভেদ্যতার মান হয়,
\({\mu _0} = 4\pi \times {10^{ - 7}}wb.{A^{ - 1}}.{m^{ - 1}}\)
বা, \({\mu _0} = 4\pi \times {10^{ - 7}}T.{A^{ - 1}}.m\)
এখন, \({\mu _0} = 4\pi \times {10^{ - 7}}wb.{A^{ - 1}}.{m^{ - 1}}\)
বা, \({\mu _0} = 4\pi \times {10^{ - 7}}\frac{{Henry}}{{meter}}\)
বা, \({\mu _0} = 4\pi \times {10^{ - 7}}\frac{{newton}}{{am{p^2}}}\)
বা, \({\mu _0} = 4\pi \times {10^{ - 7}}\frac{{Tesla - meter}}{{amp}}\)
বা, \({\mu _0} = 4\pi \times {10^{ - 7}}T.m.{A^{ - 1}}\)
[/alert] [success title="Note These Different Form of Biot-Savart Law" icon="check-circle"] Different Form of Biot-Savart Law:
(1) Biot-Savart Law in Vector Form:
\(d\vec B = \frac{{{\mu _0}}}{{4\pi }}\frac{{I\left( {d\vec l \times \vec r} \right)}}{{{r^3}}} = \frac{{{\mu _0}}}{{4\pi }}\frac{{I\left( {d\vec l \times \hat r} \right)}}{{{r^2}}}\)
এখানে \(d\vec B\) এর অভিমুখ \(\left( {d\vec l \times \vec r} \right)\) এর ভেক্টরগুনের অভিমুখে হয়। ভেক্টরগুনের ডান হাতের স্ক্র-নিয়ম দ্বারা এর অভিমুখ পাওয়া যায়। এখানে \(P\) বিন্দুতে চৌম্বক আবেশ \(d\vec B\) এর অভিমুখ হয় কাগজের পাতার সমতলের সঙ্গে লম্বভাবে এবং ভিতরের (inward) দিকে।
(2) Biot-Savart Law in terms of Current Density:
আমরা জানি, \(j = \frac{I}{A} = \frac{{Idl}}{{Adl}} = \frac{{Idl}}{{dv}}\)
বা, \(Id\vec l = \overrightarrow J dv\)
সুতরাং \(\overrightarrow {dB} = \frac{{{\mu _0}}}{{4\pi }}\frac{{I\overrightarrow {dl} \times \overrightarrow r }}{{{r^3}}} = \frac{{{\mu _0}}}{{4\pi }}\frac{{\overrightarrow J dv \times \overrightarrow r }}{{{r^3}}} = \frac{{{\mu _0}}}{{4\pi }}\frac{{\overrightarrow J \times \overrightarrow r }}{{{r^3}}}dv\)
(3) Biot-Savart Law in terms of Charge and its Velocity:
আমরা জানি, \(I\overrightarrow {dl} = \frac{q}{{dt}}\overrightarrow {dl} = q\frac{{\overrightarrow {dl} }}{{dt}} = q\overrightarrow v \)
সুতরাং, \(\overrightarrow {dB} = \frac{{{\mu _0}}}{{4\pi }}\frac{{I\overrightarrow {dl} \times \overrightarrow r }}{{{r^3}}} = \frac{{{\mu _0}}}{{4\pi }}\frac{{q\overrightarrow v \times \overrightarrow r }}{{{r^3}}}\)
[/success]
No comments:
Post a Comment