Oersted's Discovery and Biot-Savart Law

বায়োসাভার্ট সূত্র (Biot-Savart Law):
একটি তড়িৎবাহী তারের কোনো ক্ষুদ্র অংশের জন্য ঐ পরিবাহী তারটির বাইরের কোনো বিন্দুতে চৌম্বক আবেশের মান -
(1) তড়িৎপ্রবাহের সমানুপাতী
(2) পরিবাহী তারটির অতি ক্ষুদ্র অংশের সমানুপাতী
(3) পরিবাহীটির ঐ ক্ষুদ্র অংশের দৈর্ঘ্যের মধ্যবিন্দু ও ওই বিন্দু এবং বাহ্যিক বিন্দুর সংযোগকারী সরলরেখার মধ্যে সৃষ্ট কোণের সাইনের ($Sin$) এর সমানুপাতী। (4) পরিবাহী তারটির ওই ক্ষুদ্র অংশ থেকে বাহ্যিক বিন্দুটির মধ্যকার দূরত্বের বর্গের ব্যাস্তানুপাতী হয়।

ধরাযাক, $I$ তড়িৎপ্রবাহবাহী একটি তার $XY$ এর একটি অতি ক্ষুদ্র দৈর্ঘ্যের $dl$ অংশ $AB$ নেওয়া হল। এই $d\vec l$ ক্ষুদ্রাংশ থেকে $P$ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর $\vec r$ এবং $d\vec l$ ও $\vec r$ এর মধ্যকার কোণ হল $\theta$।
এখন বায়ো-সাভার্টের সূত্রানুযায়ী, $P$ বিন্দুতে চৌম্বক আবেশ $d\vec B$ হলে লেখা যায়,
(1) $dB \propto I$
(2) $dB \propto dl$
(3) $dB \propto \sin \theta$
(4) $dB \propto \frac{1}{{{r^2}}}$

যৌগিক ভেদের উপপাদ্য অনুসারে একত্রিত করে পাই,
$dB \propto \frac{{Idl\sin \theta }}{{{r^2}}}$
বা, $dB = k\frac{{Idl\sin \theta }}{{{r^2}}}$
[এখানে $k$ একটি সমানুপাতিক ধ্রুক। এর মান এককের পদ্ধতি এবং মধ্যবর্তী মাধ্যমের উপর নির্ভর করে।]

$CGS$ পদ্ধতি:
$CGS$ পদ্ধতি ও শূন্যমাধ্যমে $k = 1$ হয়, সেক্ষেত্রে বায়ো-সাভার্ট সূত্রটি হয়,
$dB = \frac{{Idl\sin \theta }}{{{r^2}}}$
বা, $B = \int {dB = \int {\frac{{Idl\sin \theta }}{{{r^2}}}} }$

$SI$ পদ্ধতি:
$SI$ পদ্ধতি ও শূন্য মাধ্যমে $k = \frac{{{\mu _0}}}{{4\pi }}$ হয়, সেক্ষেত্রে বায়ো-সাভার্ট সূত্রটি হয়,
$dB = \frac{{{\mu _0}}}{{4\pi }}\frac{{Idl\sin \theta }}{{{r^2}}}$ [যেখানে ${\mu _0}$ হল শূন্য মাধ্যমের চৌম্বকভেদ্যতা।]
বা, $B = \int {dB = \int {\frac{{{\mu _0}}}{{4\pi }}\frac{{Idl\sin \theta }}{{{r^2}}}} }$
বা, $B = \int {dB = \frac{{{\mu _0}}}{{4\pi }}\int {\frac{{Idl\sin \theta }}{{{r^2}}}} }$

[alert title="চৌম্বকভেদ্যতার মান ও একক" icon="info-circle"] ${\mu _0}$: শূন্য মাধ্যমের চৌম্বকভেদ্যতা: এর মান এবং একক:
বায়ু বা শূন্য মাধ্যমে চৌম্বক ভেদ্যতার মান হয়,
${\mu _0} = 4\pi \times {10^{ - 7}}wb.{A^{ - 1}}.{m^{ - 1}}$
বা, ${\mu _0} = 4\pi \times {10^{ - 7}}T.{A^{ - 1}}.m$

এখন, ${\mu _0} = 4\pi \times {10^{ - 7}}wb.{A^{ - 1}}.{m^{ - 1}}$
বা, ${\mu _0} = 4\pi \times {10^{ - 7}}\frac{{Henry}}{{meter}}$
বা, ${\mu _0} = 4\pi \times {10^{ - 7}}\frac{{newton}}{{am{p^2}}}$
বা, ${\mu _0} = 4\pi \times {10^{ - 7}}\frac{{Tesla - meter}}{{amp}}$
বা, ${\mu _0} = 4\pi \times {10^{ - 7}}T.m.{A^{ - 1}}$
[/alert] [success title="Note These Different Form of Biot-Savart Law" icon="check-circle"] Different Form of Biot-Savart Law:
(1) Biot-Savart Law in Vector Form:
$d\vec B = \frac{{{\mu _0}}}{{4\pi }}\frac{{I\left( {d\vec l \times \vec r} \right)}}{{{r^3}}} = \frac{{{\mu _0}}}{{4\pi }}\frac{{I\left( {d\vec l \times \hat r} \right)}}{{{r^2}}}$
এখানে $d\vec B$ এর অভিমুখ $\left( {d\vec l \times \vec r} \right)$ এর ভেক্টরগুনের অভিমুখে হয়। ভেক্টরগুনের ডান হাতের স্ক্র-নিয়ম দ্বারা এর অভিমুখ পাওয়া যায়। এখানে $P$ বিন্দুতে চৌম্বক আবেশ $d\vec B$ এর অভিমুখ হয় কাগজের পাতার সমতলের সঙ্গে লম্বভাবে এবং ভিতরের (inward) দিকে।

(2) Biot-Savart Law in terms of Current Density:
আমরা জানি, $j = \frac{I}{A} = \frac{{Idl}}{{Adl}} = \frac{{Idl}}{{dv}}$
বা, $Id\vec l = \overrightarrow J dv$
সুতরাং $\overrightarrow {dB} = \frac{{{\mu _0}}}{{4\pi }}\frac{{I\overrightarrow {dl} \times \overrightarrow r }}{{{r^3}}} = \frac{{{\mu _0}}}{{4\pi }}\frac{{\overrightarrow J dv \times \overrightarrow r }}{{{r^3}}} = \frac{{{\mu _0}}}{{4\pi }}\frac{{\overrightarrow J \times \overrightarrow r }}{{{r^3}}}dv$

(3) Biot-Savart Law in terms of Charge and its Velocity:
আমরা জানি, $I\overrightarrow {dl} = \frac{q}{{dt}}\overrightarrow {dl} = q\frac{{\overrightarrow {dl} }}{{dt}} = q\overrightarrow v$
সুতরাং, $\overrightarrow {dB} = \frac{{{\mu _0}}}{{4\pi }}\frac{{I\overrightarrow {dl} \times \overrightarrow r }}{{{r^3}}} = \frac{{{\mu _0}}}{{4\pi }}\frac{{q\overrightarrow v \times \overrightarrow r }}{{{r^3}}}$
[/success]